§ 4. Приклади розв'язування деяких інших видів тригонометричних рівнянь

Розглянемо приклад рівняння, розв'язування якого вимагає виключення сторонніх розв'язків.

 Приклад 1. Розв'язати рівняння

Розв'язання. Прирівнявши до нуля кожен із співмножників, розв'яжемо здобуті рівняння, а із знайдених розв'язків виключимо ті, при яких інші співмножники втрачають сенс:

sin2x = 0,    2x = kpx = kp/2,    k О Z;

tg3x = 0,    3x = np,    x = np/3,   n О Z;

, ,

 ,  

Оскільки синус існує для будь-яких аргументів, то із знайдених розв'язків слід виключити ті, при яких не існують tg3х і ctg(х-p/3). Для цього розкладемо формули, за допомогою яких записано розв'язки кожного з трьох рівнянь, на елементарні (елементарними називають формули розв'язків виду x =a + 2np, де 0 a 2p i зобразимо їх на одиничних колах (мал. 72). Це можна зробити, оскільки період є спільним для всіх трьох співмножників.

Перевірка показала, що із 10 елементарних формул розв'язків, зображених на малюнках, шість виявилися сторонніми для даного рівняння, оскільки для таких чисел тангенс і котангенс не існують.

Отже, розв'язки рівняння запишемо у вигляді x = mπ, x = 2π/3+mπ, mОZ.

Рівняння, що містять тригонометричні функції у знаменнику, як і дробові раціональні рівняння, зводять до виду.

Далі використовують необхідну і достатню умови рівності дробу нулю.

Наприклад, у рівнянні чисельник дробу дорівнює нулю, якщо x= π/2+nπ ,  n О Z, але при цих значеннях втрачає сенс знаменник, бо tgx не існує.

Приклад 2. Розв'язати рівняння

Розв'язання.

Маємо:

1)sinx=0,  x=kπ, k О Z.

2)

<a href="http://www.instaforex.com/ru/?x=ВАШ_ПАРТНЁРСКИЙ_КОД">InstaForex</a>

З множини розв'язків  x= kπ слід виключити ті, при яких знаменник 1 + cosx перетворюється у нуль, тобто коли cosx перетворюється у -1. Відомо, що cosx дорівнює -1 при всіх непарних k. Отже, треба залишити лише розв'язки x= 2nπ.

Множина розв'язків x= 4nπ включається в множину  x= 2nπ. Розв'язками даного рівняння є x = 2nπ.

Рівняння, до складу яких входять добутки sinasinb, sinacosb, cosacosb, зручно розв'язувати за такими формулами:

;

;

;

Приклад  3.   Розв'язати рівняння sinxsin3x+sin4xsin8x = 0.

Розв'язання.

Звідси маємо два рівняння:

sin7x = 0,    7x = kπ,    x = kπ/7,    k О Z;

sin5х = 0,    5x = nπ,    x=nπ/5,   n О Z.

Тригонометричні рівняння, до складу яких входять алгебраїчні суми виду

sinx + sin2x+ sin3x + ... + sinnx, cosx + cos2x + cos3x + . . . + cosnx,  tgx+tg2x+... +tgnx

або інші аналогічні комбінації аргументів, часто розв'язують, групуючи члени і застосовуючи формули додавання тригонометричних функцій. Але робити це слід так, щоб після перетворення у добуток кожної пари доданків з'являвся спільний множник. Далі рівняння розв'язують, розкладаючи його на множники.

Приклад 4. Розв'язати рівняння sinx - sin2x + sin5х + sin8x = 0.

Розв'язання. Згрупуємо члени так: (sinx+sin5x) + (sin8x - sin2x) = 0. Застосуємо формули суми і різниці синусів і використаємо властивість парності косинуса 2sin3xcos2x +2cos5xsin3x =0, 2sin3x· (cos2x + cos5x) =0.

Ще раз перетворимо у добуток суму косинусів 2sin3х ·2cos7x/2·cos3x/2=0.            

Звідси дістанемо три рівняння:

sin3x = 0, 3x= kπ, x= kπ/3, k О Z;

cos7x/2 = 0, 7x/2= π/2+nπ, x = π/7 + 2nπ/7 = (2n+l)π/7, n О Z;

cos3x/2 = 0, 3x/2= π/2+mπ, х =π/3+2mπ/3= π/3(2m+l), m О Z.

Остання множина розв'язків входить до множини x = kπ/3.

Отже, розв'язками даного рівняння є числа x=  kπ/3, k О Z, x =π/7(2n + l), n О Z.

Тригонометричні рівняння, до складу яких входять парні степені функцій sinx і cosx, доцільно розв'язувати, знижуючи степінь функції за формулами

Приклад 5. Розв'язати рівняння 6sin2x+2sin22x = 5.

Розв'язання. Якщо зробити заміни  , то дістанемо рівняння

або 3-3cos2x+2-2cos22x - 5 = 0.

Звідси 2cos22x + 3cos2х = 0.

Маємо квадратне рівняння відносно cos2x. Розв'язуючи його способом розкладання на множники, дістанемо

cos2x (2cos2x + 3) = 0.

Звідси cos2x = 0, 2x =π/2+nπ, x =π/4 +nπ/2 =π/4(2n + 1), n О Z;

2cos2x+3=0, 2cos2x = -3, cos2x = -3/2 не має розв'язків, оскільки |cos2x| £ 1.

Отже, розв'язками даного рівняння є числа х = π/2(2n+1).

Це рівняння можна було б розв'язати інакше, замінивши sin22x на 4sin2xcos2x, a cos2x — на 1- sin2x. Після нього дістанемо квадратне рівняння відносно sinx. Та цей спосіб більш громіздкий. Під час розв'язування тригонометричних рівнянь слід пам'ятати про можливі випадки порушення рівносильності рівняння, тобто про втрату і появу сторонніх розв'язків. Зокрема, при піднесенні до квадрата обох частин рівняння можуть з'явитися сторонні розв'язки. Під час розв'язування однорідних рівнянь не обґрунтоване ділення на cos2x може призвести до втрати розв'язків. Доводиться включати сторонні розв'язки, розв'язуючи рівняння, що містять добутки і дроби у лівій частині і нуль — у правій.

Наведемо ще два приклади втрати розв'язків.

Приклад 6. Розв'язати рівняння sinx - 7cosx =  7.

Ρозв'язання. Це лінійне рівняння. Використаємо підстановки

,.

Дістанемо 

Оскільки , то .

Звідси tgx/2=7 , x=2arctg7+2kπ, k О Z;

Неважко перевірити, що дане рівняння задовольняють і числа  x= (2n +1)π. Втрата розв'язків сталася внаслідок застосування підстановки і переходу до алгебраїчного рівняння відносно тангенса. Його не задовольняють числа, при яких tgx/2 не існує, тобто числа x/2 = (2n + 1)π/2, або x = (2n + 1)π. Але ці числа задовольняють дане рівняння. Тому, використовуючи підстановку, яка виражає синус і косинус через тангенс половинного кута, необхідно перевіряти числа x = (2n + 1)π. Якщо вони задовольняють дане рівняння, то їх слід приєднати до знайдених розв'язків. Остаточно запишемо розв'язок у вигляді x = 2аrсtgÖ7 + 2kπ, k О Z, x=(2n+1)π,  n О Z.

Приклад 7.   Розв'язати рівняння tg(x+π/4)+ tg(x-π/4)  = 2 ctgx.

Розв'язання. Застосуємо формули

,, .

Дістанемо

Після спрощення маємо

При цих значеннях х не втрачає смислу і не перетворюється у нуль знаменник дробу. Проте неважко перевірити, що дане рівняння задовольняють також числа виду х=π/2+nπ, n О Z. Втрата цих розв'язків сталася внаслідок застосування теореми додавання для функції тангенс.

 Формули тангенса суми  і  різниці двох чисел α  і b виковуються лише за умови, що мають смисл вирази tgα, tgb, tg(α+b). Якщо х=p/2+np, n О Z, тo tgx не має сенсу, тому ці розв'язки було втрачено. Якщо дане рівняння розв'язати за формулою суми тангенсів двох чисел, то вказані розв'язки не будуть втрачені.

В результаті розв'язування одного і того самого тригонометричного рівняння різними способами можна дістати різні загальні формули розв'язків рівняння. Їх еквівалентність можна довести, перетворивши формули та об'єднавши кілька формул в одну. Можна також довести рівність знайдених множин розв'язків, записавши у розгорнутому вигляді прогресії,  n-м членом яких є формула розв'язку тригонометричного рівняння. Проте обидва ці способи громіздкі. Доцільно записати дане тригонометричне рівняння у вигляді  f(x) =0, знайти найменший додатний період l функції у = f(x) і показати, що на проміжку [0;l] кожна з утворених формул дає одну і ту саму множину розв'язків. Зручним виявляється також геометричний спосіб доведення рівності множин розв'язків за допомогою одиничного кола. Якщо різні формули на одиничному колі дають однакові множини точок, що зображують окремі розв'язки рівняння, то ці множини рівні. Проте така геометрична інтерпретація можлива тільки тоді, коли періодом функції, що входить до лівої частини рівняння  f(x) =0 (не обов'язково найменшим додатним), є число 2π.