§ 5. Загальна схема дослідження функції та побудова її графіка

Нехай на відрізку [a;b] задана неперервна функція у =  f(x), графіком якої є деяка лінія. Виникає запитання: як побудувати цей графік? Одним з методів побудови графіка функції є побудова за точками. При такій побудові графіка на площині будують кілька точок, координати яких задовольняють рівняння  y=f(x), а потім ці точки сполучають суцільною лінією. Зрозуміло, чим більше таких точок буде нанесено на площину, тим точніше лінія, що їх сполучає, відображатиме графік функції y=f(x). Але при такому методі побудови графіка не відтворюється реальна поведінка функції. Так, наприклад, нехай графіком функції є суцільна лінія, яка зображена на малюнку 129, а лінія, яка утворюється при сполученні семи точок площини х0у, зображена штриховою лінією. Як бачимо, побудований і реальний графіки однієї і тієї самої функції значно відрізняються. Отже, перш, ніж будувати графік функції її треба дослідити.

 Як правило, це роблять за такою схемою.

1) Знайти область визначення функції.

2) Знайти точки перетину графіка з координатними осями. Для цього треба розв'язати дві системи рівнянь:

Перша система дає точки перетину з віссю 0х, а  друга з  0у.

3) Дослідити функцію на періодичність, парність і непарність. З'ясування цих питань полегшить побудову графіка у тому розумінні, що її доведеться виконувати не в усій області визначення функції, а тільки в певній її частині. Так, якщо y=f(x) — періодична функція з періодом Т > 0, то графік достатньо побудувати на відрізку числової осі, довжина якого дорівнює Т, а потім цю частину графіка повторити на кожному з відрізків довжини Т. Якщо функція парна, то графік функції симетричний відносно осі  0y, якщо непарна — то відносно початку координат. Тому достатньо побудувати графік тільки коли x 0, а потім симетрично відобразити його і для x < 0.

4) Знайти значення функції на кінцях відрізків, де визначена функція. Якщо область визначення функції є інтервалом (пів інтервалом) або кількома інтервалами (пів інтервалами), то слід знайти граничне значення функції, коли x наближається до одного з кінців розглядуваних проміжків.

5) Знайти інтервали монотонності функції.

6) Знайти екстремальні точки функції і побудувати їх на площині.

7) На основі дослідження побудувати графіки функції.

PEOPLEnet

Приклади.

Дослідити функції та побудувати їх графіки:

а) у = 2х4-х2 + 1; б)

Розв'язання.

 а) Дослідимо функцію у = 2х4-х2 + 1 за наведеною схемою.

1) Вона є многочленом, областю визначення якого є вся множина дійсних чисел, тобто інтервал (-∞;+∞).

2) Знаходимо точки перетину графіка з координатними осями. При перетині з віссю 0х (у = 0) маємо рівняння

2х4-х2 + 1 =0.

Це рівняння дійсних коренів не має, тобто крива не перетинає вісь 0х. Для знаходження точок перетину графіка з віссю 0у покладемо х =0.

Маємо: у =1.

Отже, в точці М1(0;1) графік функції перетинає вісь 0у.

3) Функція не періодична, парна. Надалі досліджуватимемо задану функцію тільки коли х > 0.

4) Многочлен є функцією, неперервною на всій числовій осі.

5) Досліджуємо функцію на кінцях інтервалів.  У точці х = 0  маємо у = 1.

6)Для знаходження інтервалів монотонності слід розв'язати нерівність у' > 0, у' < 0. У точках, де у'  > 0, функція зростає, а де у' < 0— спадає.

Обчислимо у' = 8х3-2х = 2х(4х2-1), х(4х2-1) > 0.

Оскільки х > 0, то 4х2-1 >0. Звідси х2 >1/4, або х >1/2 . Отже, в інтервалі (1/2; +∞) функція зростає, тоді в інтервалі (0;1/2) вона спадає.

7) Досліджуємо функцію на екстремум.

Для цього розв'яжемо рівняння х(4х2-1) = 0 . Дістанемо такі стаціонарні точки: х1 = 0,  х2 =1/2 (від'ємні значення х не розглядаємо). Неважко показати, що х1 = 0 є точкою максимуму, а х2  =1/2 мінімуму, причому

 ymax =f(0) = 1.

ymin =f(1/2) = 7/8.

Будуємо точки M1(0;1), M2(1/2;7/8).    Графік заданої функції зображено на малюнку 130.

 

Get Adobe Flash player

б) Дослідимо функцію за наведеною схемою.

1) Знаходимо область визначення функції. Оскільки задана функція дробово-раціональна, то вона не існує в тих точках, де знаменник дорівнює нулю, тобто х2 - 1 = 0 . Звідки x ±1.

Отже, областю визначення функції є об'єднання множин(-∞; -1)U(-1; 1)U(1;+∞).

2) Визначимо точки перетину графіка з осями координат. Нехай у = 0, тоді   x = 0; x  = 0, тоді у = 0. Отже, графік перетинає координатні осі в точці О(0; 0), тобто графік проходить через початок координат.

3) Функція неперіодична. Вона непарна, тому розглядатимемо тільки x  > 0.

4) Чисельником і знаменником є многочлени, які неперервні на всій числовій осі. Функція неперервна на всій числовій осі, крім точок  x = ± 1.

5)  Знаходимо похідну:

Розв'яжемо нерівність у' > 0 :  .

Помножимо обидві частини нерівності на додатні множники 1/x²  і  (x² - 1)², дістанемо x²-3 >0, звідси x > √3.

Отже, в інтервалі (3; +∞) функція зростає, а в інтервалах (0; 1), (1;3) — спадає.

6) Знайдемо екстремальні точки.

Розв'яжемо рівняння  у' = 0 :   звідси знайдемо стаціонарні точки х1 = 0, х2= 3.

При переході  х через точку х1  похідна  у' знака не змінює, при переході х через точку х2  похідна   у'  змінює  знак  з «-» на «+». Тому  х1 не є екстремальною точкою, а  х2 є точкою мінімуму і

7) Графік даної функції зображено на малюнку 131.

Форма регистрации "Welcome бонус"